中級者
数学B：数列
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ヒント：数列の和\(S_{n}\)は，基本的に\(S_{n}-S_{n-1}=a_{n}\)とすることで，\(a_{n}\)のみの漸化式にする（例外あり）．なお今回は注意点がある．
問題
\(a_{n}>0\)を条件とする．\(S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}\)として，\(a_{n}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}n=S_{n}\)\((n\geqq 1)\)が成り立つとき，\(a_{n}\)を求めよ．（オリジナル）
解説
\(a_{n+1}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}(n+1)=S_{n+1}\)\((n\geqq 0)\)
\(a_{n}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}n=S_{n}\)\((n\geqq 1)\)
両者をひくと
\(a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}=S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}\)\((n\geqq 1)\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \left(a_{n+1}-\frac{1}{2}\right)^{2}-a_{n}^{2}=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \left(a_{n+1}+a_{n}-\frac{1}{2}\right)\left(a_{n+1}-a_{n}-\frac{1}{2}\right)=0\cdots(\star)\)
ここで注意ポイント！
\(a_{n+1}+a_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}=0\)，もしくは\(a_{n+1}-a_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}=0\)でやってはいけない．なぜなら，\(n=1\)のとき，\(a_{n+1}+a_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}=0\)，\(n=2\)のとき，\(a_{n+1}-a_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}=0\)が成り立つ可能性があるように相互に0を取る可能性があるからである．
では，\(a_{n}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}n=S_{n}\)から\(n=1\)のとき，\(a_{1}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}=a_{1}\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \left(a_{1}-\frac{1}{2}\right)^{2}=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle a_{1}=\frac{1}{2}\cdots\)①
ここで，ある\(n\)について，
(i) \(a_{n+1}+a_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}=0\)のとき，
\(0<a_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}-a_{n+1}\)より，\(0<a_{n+1}<\displaystyle \frac{1}{2}\cdots\)②\((n\geqq 1)\)
よって，①から\(a_{2}\)を求めると，\(a_{2}^{2}+\displaystyle \frac{1}{2}=S_{2}=a_{1}+a_{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(a_{2}(a_{2}-1)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(a_{2}=0,1\)だが，②に反し，元の与えられた式が成り立たないので不適．
(ii) \(a_{n+1}-a_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}=0\)のとき，
同様にすると，\(a_{n+1}>\displaystyle \frac{1}{2}\cdots\)③
すると，\(a_{n+1}+a_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}>\frac{1}{2}+0-\frac{1}{2}=0\)となるので，\((\star)\)から常に\(a_{n+1}-a_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}=0\)が成り立つ．
これを解くと，\(a_{n}=a_{1}+(n-1)\displaystyle \times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n\) \((n\geqq 1)\)