中級者
数学B：数列
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ヒント：１．部分分数分解を使う．２．(1)を使って，(2)を証明しよう．
問題
(1) 2以上の整数\(n\)に対し
\(\displaystyle \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\)
を求めよ．
(2) 任意の正の整数\(n\)に対し
\(\displaystyle \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\)\(<2\)が成り立つことを示せ．(オリジナル）
参考入試問題
(1) 2以上の整数\(n\)に対し
\(\displaystyle \frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+\cdots+\frac{1}{(n-1)n(n+1)}\)
を求めよ．
(2) 任意の正の整数\(n\)に対し
\(\displaystyle \frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}\)\(\displaystyle <\frac{5}{4}\)が成り立つことを示せ．(02 一橋大）
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