上級者
数学Ⅱ：三角関数
問題
\(\pi^{2}>9.8\)を示せ．必要なら\(\sqrt 3<1.73206,~\sqrt 2<1.41422\)を使ってもよい．（オリジナル）
解説
\(\displaystyle \cos x \geqq 1-\frac{x^{2}}{2!}\)を示す．(証明略)
\(\displaystyle x=\frac{\pi}{12}\)を代入すると，
\(\displaystyle \cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)より，
式変形すると，\(\pi^{2} \geqq 72\times (4-(\sqrt{6}+\sqrt{2}))\)
また，\(\sqrt{6}+\sqrt{2}=\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)<3.8637\)
よって，\(72\times (4-(\sqrt{6}+\sqrt{2}))>9.8111596896>9.8\)
※バーゼル問題：\(\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\)があるが，\(n=86\)でようやく\(\pi^{2}>9.8\)が示せる．
※次の式は覚えておくと便利．
\(\sin x,\cos x\)をマクローリン展開すると，次のようになる．
\(\displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\)
\(\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots\)
これより，次の不等式が成立する．
・\(\sin x \leqq x\) \((x \geqq 0)\)
・\(\displaystyle \cos x \geqq 1-\frac{x^{2}}{2!}\)
・\(\displaystyle \sin x \geqq x-\frac{x^{3}}{3!}\) \((x \geqq 0)\)
・\(\displaystyle \cos x \leqq 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}\)
参考入試問題
証明方法は違うが，以下のような問題がある．
・円周率が3.05より大きいことを証明せよ．（東大 2003）
・円周率\(\pi\)の値の数値を知らないものとして，図形と計算を用いて\(\pi\)が不等式\(\displaystyle 3<\pi<\frac{10}{3}\)を満たすことを示せ．（岐阜大 2001）
・単位円に内接する正\(n\)角形の周の長さを\(S_{n}\)，外接する正\(n\)角形の周の長さを\(T_{n}\)で表すと，\(S_{n}<\pi<T_{n}\)である．次の問に答えよ．
(1)\(S_{n},T_{n}\)を\(n\)で表し，\(\{S_{n}\}\)，\(\{T_{n}\}\)はともに\(2\pi\)に収束することを示せ．
(2)\(S_{n},T_{n}\)に対して，
\(\displaystyle T_{2n}=\frac{2S_{n}T_{n}}{S_{n}+T_{n}}\)
\(S_{2n}=\sqrt{S_{n}T_{2n}}\)
が成り立つことを示せ．
(3) (2)を用いて，\(S_{12},T_{12}\)の値を求めよ．
(4) (3)を用いて，不等式\(3.10<\pi<3.22\)を示せ．必要ならば，\(1.414 < \sqrt{2} < 1.415\), \(1.732 < \sqrt{3} < 1.733\), \(2.449 < \sqrt{6} < 2.450\)を用いよ．（高知大 2001）
また，さらに厳しい範囲で円周率を求める問題もある．
円周率を\(\pi\)とする．正の整数\(n\)に対し，
\(\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{2-\sqrt{3}}\frac{1-x^{4n}}{1+x^{2}}dx\) \(\displaystyle b_{n}=\int_{0}^{2-\sqrt{3}}\frac{1-x^{4n+2}}{1+x^{2}}dx\)
とおく．
（１）\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}=\frac{\pi}{12}\)を証明せよ．
（２）\(3.141<\pi<3.142\)を証明せよ．ただし，\(1.7320508<\sqrt{3}<1.7320509\)である．（2013 大阪大 挑戦枠）