上級者
数学Ⅱ：三角関数
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ヒント：通常，三角関数の式は\(\displaystyle \tan \frac{x}{2}=t\)と置くと，\(t\)の多項式となるため，それを解けばよいが，この問題はまず解けない．他の方法で解くしかないが，一般的な方法がないのでかなり難易度が高い．成立する\(x\)を推測してから，逆にどのように因数分解を行えばよいか考えればよい．
問題
次の方程式を\(x\)について解け．
(A) \(\sqrt{2}\sin x +\sqrt{2}\cos x +\tan x =3\) \((0\leqq x<\pi)\)
(B) \(\sqrt{2}\sin x +\sqrt{2}\cos x +\tan x =2\) \((0\leqq x<2\pi)\)（オリジナル）
解説
(A)
前置き：一つの答えは\(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\)であるため，\(\displaystyle x=t+\frac{\pi}{4}\)と置き，\(t=0\)で因数分解を行うようにする．
\(\displaystyle x=t+\frac{\pi}{4}\)と置くと，\(\displaystyle -\frac{\pi}{4}\leqq t<\frac{3\pi}{4}\)
また，
\(\displaystyle \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t +\cos t\)
\(\displaystyle \cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t -\sin t\)
\(\displaystyle \tan x=\frac{1+\tan t}{1-\tan t}\)
よって，\(\sqrt{2}\sin x +\sqrt{2}\cos x +\tan x =3\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle 2\cos t +\frac{1+\tan t}{1-\tan t} =3\)
ここで，\(\tan t\)に関して式変形していくと，
\(\displaystyle \tan t =\frac{1-\cos t}{2-\cos t}\)
ここで両辺を2乗して，\(\displaystyle \tan^2 t =\frac{1}{\cos^{2} t}-1\)を代入すると，
\(\displaystyle \frac{1-\cos^2 t}{\cos^2 t} =\left(\frac{1-\cos t}{2-\cos t}\right)^{2}\)
ここで，\(\cos t=a\)と置き，さらに式変形すると，\((1-a)(a^3-2a^2+2)=0\)
ここで\(a\)は，\(\displaystyle -\frac{\pi}{4}\leqq t<\frac{3\pi}{4}\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}<a \leqq 1\)の範囲となる．
\(f(a)=a^3-2a^2+2\)と置くと，\(f'(a)=a(3a-4)\)
極大値は\(a=0\)，極小値は\(\displaystyle a=\frac{4}{3}\)
ここで，\(f(1)=1>0\)，\(\displaystyle f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=1-\frac{\sqrt{2}}{4}>0\)
よって，\(\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}<a \leqq 1\)の範囲で\(a\)は解を持たない．
よって，方程式の解は\(a=1\)のみ．つまり，\(t=0\)のみが解となる．
この時，\(\displaystyle \tan t =\frac{1-\cos t}{2-\cos t}\)を満たす．（2乗前後で式の必要十分性が満たされていないので確認する．）
よって，答えは\(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\)
(B)
前置き：一つの答えは\(\displaystyle x=\frac{\pi}{12}\)であるが，(A)の式をそのまま使えるように，\(\displaystyle x=t+\frac{\pi}{4}\)と置き，\(\displaystyle t=-\frac{\pi}{6}\)で因数分解を行うようにする．
\(\displaystyle x=t+\frac{\pi}{4}\)と置くと，\(\displaystyle -\frac{\pi}{4}\leqq t<\frac{7\pi}{4}\)
また，
\(\displaystyle \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t +\cos t\)
\(\displaystyle \cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t -\sin t\)
\(\displaystyle \tan x=\frac{1+\tan t}{1-\tan t}\)
よって，\(\sqrt{2}\sin x +\sqrt{2}\cos x +\tan x =2\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle 2\cos t +\frac{1+\tan t}{1-\tan t} =2\)
ここで，\(\tan t\)に関して式変形していくと，
\(\displaystyle \tan t =\frac{1-2\cos t}{3-2\cos t}\)
ここで両辺を2乗して，\(\displaystyle \tan^2 t =\frac{1}{\cos^{2} t}-1\)を代入すると，
\(\displaystyle \frac{1-\cos^2 t}{\cos^2 t}\)\(=\displaystyle \left(\frac{1-2\cos t}{3-2\cos t}\right)^{2}\)
ここで，\(\cos t=a\)と置き，さらに式変形すると，\((2a-\sqrt{3})(2a+\sqrt{3})(2a^2-4a+3)=0\)
ここで\(a\)は，\(\displaystyle -\frac{\pi}{4}\leqq t<\frac{7\pi}{4}\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle -1\leqq a \leqq 1\)の範囲となる．
\(f(a)=2a^2-4a+3\)と置くと，\(f(a)=2(a-1)^2+1\)
よって，\(f(a)=0\)で解を持たない．
一方，\(2a+\sqrt{3}=0\)，\(2a-\sqrt{3}=0\)は，\(\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}<a \leqq 1\)のは範囲内である．解\(t\)を求めると，\(\displaystyle t=\pm\frac{\pi}{6}\)，\(\displaystyle t=\frac{5\pi}{6}\)，\(\displaystyle t=\frac{7\pi}{6}\)が解となる．
この時，\(\displaystyle \tan t =\frac{1-\cos t}{2-\cos t}\)を満たす\(t\)は\(\displaystyle t=-\frac{\pi}{6}\)，\(\displaystyle t=\frac{7\pi}{6}\)．（2乗前後で式の必要十分性が満たされていないので確認する．）
よって，答えは\(\displaystyle x=\frac{\pi}{12},\frac{17\pi}{12}\)