上級者
数学Ⅱ：三角関数
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ヒント：加法定理や有名角度を駆使して求めよう．
問題
(1)\(0\leqq x <\pi\)の時，\(\tan x\tan 2x \tan 3x\)\(=\tan x+\tan 2x+\tan 3x\)を解け．
(2)\(a+b+c=\pi\)の時，\(\tan a+\tan b+\tan c\)\(=\tan a \tan b \tan c\)であることを示せ．
(3)\(\sin 10^{\circ}\sin 30^{\circ}\sin 50^{\circ}\sin 70^{\circ}\)\(\displaystyle =\frac{1}{16}\)であることを示せ．
(4)\(\cos 0^{\circ}\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ}\)を求めよ．
解答
(1)与式を式変形すると，\(\tan 3x(\tan x\tan 2x -1)=\tan x+\tan 2x\)
ここで加法定理より，\(\displaystyle \tan 3x=\frac{\tan x +\tan 2x}{1-\tan x \tan 2x}\)
よって，\(\tan x +\tan 2x\)を消去すると，
\(\tan 3x(\tan x\tan 2x -1)=\tan 3x(1-\tan x\tan 2x)\)
なお，\(1-\tan x \tan 2x\neq 0\)なので，
\(\tan 3x =-\tan 3x\)
\(\tan 3x=0\)
これより，\(x=0\)，\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)，\(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\)
(2)
\(c=\pi-a-b\)を下記式に代入して式変形すると，
\(\tan c\)\(=\tan (\pi-a-b)\)\(=-\tan (a+b)\)\(=\displaystyle -\frac{\tan a+\tan b}{1- \tan a \tan b}\) \(\Leftrightarrow\) \(\tan c- \tan a \tan b \tan c=-(\tan a+\tan b)\)\(\Leftrightarrow\) \(\tan a+\tan b+\tan c\)\(=\tan a \tan b \tan c\)
(3)
\(\sin 30^{\circ}\)\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)より，\(\sin 10^{\circ}\sin 50^{\circ}\sin 70^{\circ}\)\(\displaystyle =\frac{1}{8}\)を示せばよい．
ここで，加法定理より，\(\sin(60^{\circ}-x)\)\(=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x\)，\(\sin(60^{\circ}+x)\)\(=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x\)
よって，\(\sin(60^{\circ}-x)\)\(\sin(60^{\circ}+x)\)\(=\displaystyle \frac{3}{4}\cos^2 x-\frac{1}{4}\sin^2 x\)\(=\displaystyle \frac{3}{4}-\sin^2 x\)
よって，\(\sin x\sin(60^{\circ}-x)\)\(\sin(60^{\circ}+x)\)\(=\displaystyle \frac{1}{4}(3\sin x -4\sin^3 x)\)\(=\displaystyle \frac{1}{4}\sin 3x\)
\(x=10^{\circ}\)を代入すると，\(\sin 10^{\circ}\sin 50^{\circ}\sin 70^{\circ}\)\(\displaystyle =\frac{1}{8}\)となるので，題意は示された．
※一般的に\(\displaystyle \sin nx=2^{n-1}\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(x+\frac{k}{n}\pi\right)\)が成り立つ．
(4)
(3)において，\(\sin 10^{\circ}\sin 30^{\circ}\sin 50^{\circ}\sin 70^{\circ}\)\(\displaystyle =\frac{1}{16}\)
また，\(\sin(90-x)=\cos x\)が成立するため，\(\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ}\)となる．\(\cos 0^{\circ}=1\)より，\(\cos 0^{\circ}\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ}\)\(\displaystyle =\frac{1}{16}\)
参考入試問題
\(\tan 10^{\circ}=\tan 20^{\circ}\tan 30^{\circ}\tan 40^{\circ}\)であることを示せ．（2013 千葉大）
解答
\(\tan 10^{\circ}=t\)と置くと，
\(\tan (30^{\circ}-10^{\circ})\)\(\displaystyle =\frac{\tan 30^{\circ}-\tan 10^{\circ}}{1+\tan 30^{\circ}\tan 10^{\circ}}\)\(\displaystyle =\frac{1-\sqrt{3}t}{\sqrt{3}+t}\)
\(\tan (30^{\circ}+10^{\circ})\)\(\displaystyle =\frac{1+\sqrt{3}t}{\sqrt{3}-t}\)
3倍角の公式より，
\(\tan 30^{\circ}\)\(\displaystyle =\frac{3t-t^3}{1-3t^2}\)
よって，\(\tan (30^{\circ}-10^{\circ}) \tan 30^{\circ} \tan (30^{\circ}+10^{\circ})\)\(=\displaystyle \frac{1-3t^2}{3-t^2}=t\)で題意は示された．
※3倍角の公式から次の式が成り立つ．
\(\tan x=t\)と置くと，
\(\tan 3x\)\(\displaystyle =\frac{3t-t^3}{1-3t^2}\)\(\displaystyle =t\frac{1-\sqrt{3}t}{\sqrt{3}+t}\frac{1+\sqrt{3}t}{\sqrt{3}-t}\)\(=\tan x \tan (60^{\circ}-x) \tan (60^{\circ}+x)\)
ここで，\(x=10^{\circ}\)を代入すると，\(\tan 30^{\circ}=\tan 10^{\circ}\tan 50^{\circ}\tan 70^{\circ}\)
\(\displaystyle \tan \theta=-\frac{1}{\tan (90^{\circ}-\theta)}\)で，\(\theta=20^{\circ},40^{\circ}\)を代入すれば，\(\tan 10^{\circ}=\tan 20^{\circ}\tan 30^{\circ}\tan 40^{\circ}\)を示すことができる．