中級者
数学Ⅱ：三角関数
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ヒント：解と係数の関係を使って，文字を消していこう．
問題
\(t^{3}-bt^{2}-at-a=0\)の3つの解を\(\sin x\)，\(\cos x\)，\(\tan x\)とするとき\(x\)の値と\(a,b\)の値を求めよ．\((0 \leqq x<2\pi)\) (オリジナル)
解説
解と係数の関係より，
\(\sin x+\cos x+\tan x=b\cdots\)①
\(\sin x\cos x+\cos x\tan x+\tan x\sin x=−a\cdots\)②
\(\sin x\cos x\tan x=a\cdots\)③
③より，\(\sin^{2}x=a\)
これを②に代入すると，
\(\sin x(\cos x+1+\tan x)=-\sin^{2}x\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \sin x\left\{\cos x+1+\sin x\left(\frac{\cos x+1}{\cos x}\right)\right\}=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\sin x(\cos x+1)(\tan x+1)=0\)
\(\tan x=−1\)のとき，\(\sin x=\displaystyle \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\displaystyle \cos x=\mp\frac{\sqrt{2}}{2}\)
よって，\(\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}\)，\(\displaystyle \frac{7\pi}{4}\)，\(\displaystyle a=\frac{1}{2}\)，\(b=-1\)
\(\sin x=0\)のとき，\(\cos x=\pm 1\)，\(\tan x=0\)
よって，\(a=0\)，\(b=\pm 1\)，\(x=0,\pi\)
\(\cos x=−1\)のときは上の中に含まれる．
以上より\((a,b,x)=(0,\pm 1,0)\),\((0,\pm 1,\pi)\),\(\left(\displaystyle \frac{1}{2},-1,\displaystyle \frac{3\pi}{4}\right)\),\(\left(\displaystyle \frac{1}{2},-1,\displaystyle \frac{7\pi}{4}\right)\)