中級者
数学B：ベクトル
-
ヒント：図形の長さ，角度，座標を使い，ベクトルの直線状に点がある条件を使うことがよくあるが，基本的には，図形を解く場合の補助と考えてよい．使いこなせるようになれば，計算処理が速くなる．
問題
\(P\)を\(△ABC\)の内部の点とし，\(△BPC\)，\(△CPA\)，\(△APB\)の面積の比が\(1:1:1\)になるとき，点\(P\)は重心であることを示せ．（重心の性質）
解答
\(AP\)を延長して\(BC\)と交わる点を\(D\)とすると，\(△ABC:△BPC=3:1\)より，\(AD:AP=3:2\)
∴\(\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\)
また，\(△ABP:△ACP=1:1\)より，\(BD:CD=1:1\)
これより，\(D\)は\(A\)と\(B\)の中点となる．
ここで，重心の定義は中線の交点\(G\)である．また，重心\(G\)は中線を2:1で分割する．つまり，\(\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\)
参考入試問題
\(P\)を\(△ABC\)の内部の点とし，\(△BPC\)，\(△CPA\)，\(△APB\)の面積の比が\(1:2:3\)になるとき
(1) \(\overrightarrow{AP}\)を\(\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AC}\)で表せ．
(2) \(a \overrightarrow{PA}+b \overrightarrow{PB}+c \overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}\)とするとき，\(a:b:c\)を求めよ．ただし，\(abc\neq 0\) （1999 琉球大）
解答
\(AP\)を延長して\(BC\)と交わる点を\(D\)とすると，\(△ABC:△BPC=6:1\)より，\(AD:AP=6:5\)
∴\(\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AD}\cdots\)①
また，\(△ABP:△ACP=3:2\)より，\(BD:CD=3:2\)
∴\(\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{5}\cdots\)②
①，②より，\(\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{6}\)
(2) (1)より，\(\displaystyle 6\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\) \(\Leftrightarrow\) \(2(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA})\)\(+3(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA})\)\(+6\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{0}\)
∴\(\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}\)
よって，\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=3\)