中級者
数学B：ベクトル
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ヒント：ベクトルの和，差を使い，辺の長さや内積を求めよう．
問題
平面上の3点\(O,A,B\)は条件\(\displaystyle 2|\overrightarrow{AB}|\)\(=\displaystyle |2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|\)\(=\displaystyle |\overrightarrow{OB}-4\overrightarrow{OA}|=4\sqrt{3}\)を満たす．\(△OAB\)の面積を求めよ．（類 一橋大）
解答
\(\displaystyle \overrightarrow{AB}\)\(=\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)を使って，\(\displaystyle (2|\overrightarrow{AB}|)^2\)\(=(4\sqrt{3})^2\)を展開すると，
\(\displaystyle |\overrightarrow{OB}|^2-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OA}|^2=12\)
\(\displaystyle |2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|^2\)\(=(4\sqrt{3})^2\)を展開して，
\(\displaystyle 4|\overrightarrow{OA}|^2+4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OB}|^2=48\)
\(\displaystyle |\overrightarrow{OB}-4\overrightarrow{OA}|^2\)\(=(4\sqrt{3})^2\)を展開して，
\(\displaystyle |\overrightarrow{OB}|^2-8\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+16|\overrightarrow{OA}|^2=48\)
これらより，\(\displaystyle |\overrightarrow{OA}|=2\)，\(\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=4\)，\(\displaystyle |\overrightarrow{OB}|=4\)
また，\(\cos \angle AOB\)\(=\displaystyle \frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|}\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}\)
よって，\(\sin \angle AOB\)\(=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
よって，\(△OAB\)の面積\(=\displaystyle \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin \angle AOB\)\(=\displaystyle 2\sqrt{3}\)
参考入試問題
平面上の3点\(O,A,B\)は条件\(\displaystyle |\overrightarrow{OA}|\)\(=\displaystyle |\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|\)\(=\displaystyle |2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=1\)を満たす．\(\displaystyle |\overrightarrow{OA}|\)および\(△OAB\)の面積を求めよ．（一橋大）
解答
\(\displaystyle |\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|^2=1\)
を展開して，
\(\displaystyle |\overrightarrow{OA}|^2+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OB}|^2=1\)
また，\(\displaystyle |2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|^2=1\)を展開して，
\(\displaystyle 4|\overrightarrow{OA}|^2+4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OB}|^2=1\)
これらと，\(\displaystyle |\overrightarrow{OA}|=1\)より，
\(\displaystyle |\overrightarrow{OB}|^2=3\)
\(\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac{3}{2}\)
また，\(\displaystyle |\overrightarrow{AB}|^2\)\(=\displaystyle |\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|^2\)\(=\displaystyle |\overrightarrow{OB}|^2-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OA}|^2=7\)
よって，\(\displaystyle |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{7}\)
また，\(\cos \angle AOB\)\(=\displaystyle \frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|}\)\(=\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
よって，\(\sin \angle AOB\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}\)
よって，\(△OAB\)の面積\(=\displaystyle \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin \angle AOB\)\(=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\)