大学数学入試：初級者

初級者

数学Ⅰ：方程式と不等式

シュリニヴァーサ・ラマヌジャン　”神の考えを表すものでないかぎり，わたしにとって方程式は何の意味も持たない”

¶式の計算

〇公式

$$ (a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2 $$ $$ (a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2 $$ $$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$ $$ (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab $$ $$ (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ab+bc)x+bd $$ $$ (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3} $$ $$ (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3} $$ $$ (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} $$ $$ (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} $$ $$ (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$$ $$ (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$$ $$ a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})$$ $$ a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})(nは奇数)$$ $$ x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1) $$ $$ x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x+abc=(x+a)(x+b)(x+c) $$

〇トピックス

ここではまず式の一般性についてお話しておきたいと思います．まず公式と書いてありますが一部だけ知っておけば導き出せるものです．例えば，$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$という式で$b$を$－b$に置き換えてみてください．すると$(a+(-b))^{2}=(a-b)^{2}=a^{2}+2a(-b)+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$となります．その他にも同様のことが言えます．$(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ab+bc)x+bd$の式に$a=c=1$ を代入すれば，$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$の式になります．つまり「公式は一般的に使えるものだ」と考えておきましょう．

それでは具体的に問題を解いていきましょう．

次の問題を展開または因数分解せよ．

（１）$(x+3)(2x+5)=1\times 2x^{2}+(5+2\times3)x+3\times5=2x^{2}+11x+15$

（２）$(3x+2b)^{2}=(3x)^{2}+2(3x)(2b)+(2b)^{2}=9x^{2}+12xb+4b^{2}$

（３）$(9x+5)(9x-5)=(9x)^{2}-5^{2}=81x^{2}-25$

（４）$(x+2y-3z)^{2}=x^{2}+(2y)^{2}+(-3z)^{2}+2x(2y)+2(2y)(-3z)+2(-3z)x=x^{2}+4y^{2}+9z^{2}+4xy-12yz-6zx$

（５）$(5a-3)^{3}=(5a)^{3}-3(5a)^{2}\times3+3(5a)\times3^{2}-3^{3}=125a^{3}-225a^{2}+125a-27$

（６）$(x-3y)(x^{2}+3xy+9y^{2})=x^{3}+(-3y)^{3}=x^{3}-27y^{3}$

（７）$x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$

（８）$4x^{2}-9y^{2}=(2x+3y)(2x-3y)$

（９）$3a^{2}-2ab-b^{2}=(3a+b)(a-b)$

（１０）$4x^{2}+12x+9=(2x+3)^{2}$

（１１）$x^{3}+6x^{2}+12x+8=(x+2)^{3}$

（１２）$8x^{3}-27y^{3}=(2x-3y)(4x^{2}+6xy+9y^{2})$

（１３）$x^{3}+8y^{3}-1+6xy=(x+2y-1)(x^{2}+4y^{2}+1-2xy+2y+x)$

ここでの計算を早くする方法として，まず　①たくさんの公式を頭に入れること　②問題にどの公式を適応すればいいのか考える．　③計算方法を確立し，なるべく早く答えを出す．　④何度も繰り返すこと．　そしてさらに　この計算はただの公式を当てはめたにすぎない，と思えるようになれば格段に速い計算能力がついたと思われます．なおわかりにくいのが計算方法を確立し，というところだと思いますが，これは私だったら頭の中で，次数の同じものを見つけ出して計算するというやり方をしています．人それぞれのやり方があると思うので，間違えないようにすればなんでもいいです．

〇数について

ここでは有理数と無理数，つまり実数についてやっていきます．

〇性質・公式

$a\geqq 0$のとき，$|a|=a$，$a\leqq0$のとき，$|a|=-a$，$\sqrt{a^{2}}=|a|$(これ注意)

$a\geqq0$のとき，$(\sqrt{a})^{2}=a$$(-\sqrt{a})^{2}=a$$\sqrt{a}\geqq0$

$a>0$，$b>0$のとき

$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，$\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$ ，$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

$a>b$のとき$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$(これ注意)

それでは早速具体的に計算をして見ましょう．

次の計算をせよ．また有理化せよ．

（１）$3\sqrt{5}+2\sqrt{20}=3\sqrt{5}+2\sqrt{2^{2}\times5}=3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}$

（２）$(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)=6-4=2$

（３）$(5+3\sqrt{2})(2+\sqrt{6})=10+5\sqrt{6}+6\sqrt{2}+3\sqrt{12}=10+5\sqrt{6}+6\sqrt{2}+6\sqrt{3}$

（４）$(\sqrt{6}+2\sqrt{3})^{2}=6+2\sqrt{18}+4\times3=18+6\sqrt{2}$

（５）$\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

（６）$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\times(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{1}=3-\sqrt{6}$

（７）$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}=|\sqrt{3}+\sqrt{2}|=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

（８）$\displaystyle\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$

　※(8)について少し言っておきたいことがあります．$\sqrt{\text{　}}$をはずすとき$\sqrt{\text{　}}$の中身は絶対に0以上の数ではないといけないので，$\sqrt{(1-\sqrt{5})^{2}}=1-\sqrt{5}$としてはいけないのです．

〇一次不等式と二次方程式

〇性質・公式

$a<b$　$\Rightarrow a+c<b+c$， $a-c<b-c$

$a<b$，$c>0$　$\Rightarrow$，$ac<bc$　$\displaystyle \frac{a}{c}<\frac{b}{c}$

$a<b$，$c<0$　$\Rightarrow$，$ac>bc$　$\displaystyle \frac{a}{c}>\frac{b}{c}$

これより，不等式は両辺に同じ負の数を掛けたり割ったりすると，不等式の向きが変わる．

$c>0$のとき

　　　$|x|=c$の解は $x=\pm c$

　　　$|x|<c$の解は$-c<x<c$

　　　$|x|>c$の解は$x<-c x>c$

$ab=0$のとき，$a=0$または$b=0$

二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$の解は，$D=b^{2}-4ac\geqq 0$のとき

$x=\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}　(a\neq 0)$

補：二次方程式$ax^{2}+2b^{\prime}x+c=0$の解は，$D^{\prime}=b^{\prime2}-ac\geqq 0$のとき

$x=\displaystyle\frac{-b^{\prime}\pm\sqrt{D^{\prime}}}{a}　(a\neq 0)$

二次方程式の実数解について，

$D>0\Leftrightarrow$異なる2つの実数解を持つ

$D=0\Leftrightarrow$ただ一つの実数解を持つ

$D<0\Leftrightarrow$実数解を持たない

次の問題を解け．

（１）$3x>1\displaystyle \Leftrightarrow x>\frac{1}{3}$

（２）①$2x+7<5x+3\displaystyle \Leftrightarrow4<3x\Leftrightarrow x>\frac{4}{3}$

（２）②$2x+7<5x+3\displaystyle \Leftrightarrow-3x<-4\Leftrightarrow x>\frac{4}{3}$

次の連立不等式を解け．

（３）$3x+1>2x-4$，$4x-3\geqq 6x+4$

$3x+1>2x-4\Leftrightarrow x>-5$

$4x-3\displaystyle \geqq6x+4\Leftrightarrow-2x\geqq7\Leftrightarrow x\leqq-\frac{7}{2}$

$∴-5<x\displaystyle \leqq-\frac{7}{2}$

（４）$3x-4\leqq x+2<2x+1$

$3x-4\leqq x+2\Leftrightarrow 2x\leqq 6\Leftrightarrow x\leqq3$

$x+2<2x+1\Leftrightarrow x>1$

$∴1<x\leqq 3$

（５）$|6x-2|=4$を解け．

$6x-2=\pm 4\Leftrightarrow 6x=6,-2$

$∴x=1,-\displaystyle \frac{1}{3}$

（６）$|6x-2|<4$を解け．

$-4<6x-2<4\displaystyle \Leftrightarrow-2<6x<6\Leftrightarrow-\frac{1}{3}<x<1$

（７）$|3x+4|=5x$を解け．

$3x+4<0$のとき，つまり$x<-\displaystyle \frac{4}{3}$のとき

$-(3x+4)=5x\displaystyle \Leftrightarrow 8x=-4\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$範囲外なので不適．

$3x+4\geqq 0$のとき，つまり$x\displaystyle \geqq-\frac{4}{3}$のとき

$3x+4=5x\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2$範囲内なので適する．

$∴x=2$

（８）$|3x+4|<5x$を解け．

$3x+4<0$のとき，つまり$x<-\displaystyle \frac{4}{3}$のとき

$-(3x+4)<5x\displaystyle \Leftrightarrow 8x>-4\Leftrightarrow x>-\frac{1}{2}$範囲外なので不適．

$3x+4\geqq 0$のとき，つまり$x\displaystyle \geqq-\frac{4}{3}$のとき

$3x+4<5x\Leftrightarrow 2x>4\Leftrightarrow x>2$あわせて，$x>2$

∴$x>2$

（９）$|3x+4|>5x$を解け．

$3x+4<0$のとき，つまり$x<-\displaystyle \frac{4}{3}$のとき

$-(3x+4)>5x\displaystyle \Leftrightarrow 8x<-4\Leftrightarrow x<-\frac{1}{2}$あわせて，$x<-\displaystyle \frac{4}{3}$

$3x+4\geqq 0$のとき，つまり$x\displaystyle \geqq-\frac{4}{3}$のとき

$3x+4>5x\Leftrightarrow 2x<4\Leftrightarrow x<2$あわせて，$-\displaystyle \frac{4}{3}\leqq x<2$

$x<2$

（１０）$x^{2}-3x+2=0\Leftrightarrow(x-1)(x-2)=0\Leftrightarrow x=1,2$

（１１）$2x^{2}+5x+1=0\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\times 2\times1}}{2\times2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4}$

（１２）$x^{2}-4x+2\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-1\times 2}}{1}=2\pm\sqrt{2}$

（１３）$2x^{2}+5x-a=0$が実数解を持つときの定数$a$の範囲を求めよ．

実数解を持つときの定数$a$の範囲は

$D=5^{2}-4\displaystyle \times 2\times(-a)=25+8a\geqq0\Leftrightarrow a\leqq-\frac{25}{8}$