上級者
数学Ⅲ：複素数平面
問題（オリジナル）
①\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)とする．このとき，\(z^{n}=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)であることを示せ．ただし，\(n\)は自然数であるとする．
②\(\displaystyle 1+\cos\theta+\cdots+\cos n\theta=\frac{\cos\frac{n\theta}{2}\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\)，\(\displaystyle \sin\theta+\cdots+\sin n\theta=\frac{\sin\frac{n\theta}{2}\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\)が成立することを示せ．
③\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin x)dx\)の値を求めよ．
④\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k\pi}{n^2}}^{\frac{2k\pi}{n^2}}\frac{1+\cos\theta+\cdots+\cos n\theta}{\sin\theta+\cdots+\sin n\theta}d\theta\)の値を求めよ．
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