中級者
数学Ⅱ：微分積分
問題
放物線\(y=x^{2}\)と2本の接線が\(x=a\),\(x=b\) \((a<b)\)で接している．放物線と接線で囲まれる面積Aを求めよ．（有名問題）
参考入試問題
放物線\(y=x^{2}\)上の2点\(A(a,a^{2})\), \(B(b,b^{2})\) \((a<b)\)における接線の交点を\(S\)とする。
（１）\(S\)の座標を求めよ。
（２）2つの線分\(AS,SB\)および放物線\(y=x^{2}\)で囲まれる図形の面積は\(\displaystyle \frac{1}{12}(b-a)^{3}\)であることを示せ。
（３）\(y=x^{2}\)上の点\(C(c,c^{2})\) \((a<c<b)\)における接線が線分\(AS\)と交わる交点を\(P\),線分\(SB\)と交わる点を\(Q\)とする。\(C\)が\(a<c<b\)である範囲を動くとき3つの線分\(AP,PQ,QB\)と放物線\(y=x^{2}\)で囲まれる図形の面積の最小値を求めよ。（広島大）
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