MATH

文字を置き換える時は，その文字の範囲を求めること．

問題

\(\displaystyle y=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\frac{1}{x}+\frac{3}{2}\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\)の\(y\)の範囲を求めよ．（オリジナル）

解答

与式を変形すると，

\(\displaystyle y=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}+\frac{3}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-\frac{5}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)-3\)

ここで\(\displaystyle t=x+\frac{1}{x}\)と置くと，\(t\)の範囲は，

\(t \leqq -2,~t \geqq 2\) (方法はこちらを確認)

そして，\(\displaystyle y=t^{3}+\frac{3}{2}t^{2}-\frac{5}{2}t-3\)のグラフは次のようになるため，\(y\)の範囲は\(y \leqq 0,~y \geqq 6\)となる．