MATH

問題

\((a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2})\geqq(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^{2}\)であることを数学的帰納法を用いて示せ．(コーシー・シュワルツの不等式)

コーシー・シュワルツの不等式を使う問題

いびつなサイコロがあり，1から6までのそれぞれの目が出る確率が\(\displaystyle \frac{1}{6}\)とは限らないとする．このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率を\(P\)とし，1回目に奇数，2回目に偶数の目が出る確率を\(Q\)とする．

（１）\(P\displaystyle \geqq\frac{1}{6}\)であることを示せ．また，等号が成立するための必要十分条件を求めよ．

（２）\(\displaystyle \frac{1}{4}\geqq Q\geqq\frac{1}{2}-\frac{3}{2}P\)であることを示せ．(08東工大)

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