上級者
関数
-
ヒント：(B)については，\(a\)の実数の範囲を求める場合，\(b,c,d\)が実数である条件を考え，その条件内で\(a\)がどの実数範囲をとるかを考えればよい．二次方程式の判別式を利用しよう．（3次方程式の実数解の場合の判別については，こちらを参考にしてください）
問題（オリジナル）
\(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)において，\(a\neq 0\)，\(P(a)=0\)，\(P(b)=0\)，\(P(c)=0\)となる時，
(A)\(d=0\)の時，\(a,b,c\)を求めよ．
(B)\(a,b,c,d\)が実数で，\(a>0\)の時，\(a\)の取りうる範囲を求めよ．
解答
\(P(x)=a(x-a)(x-b)(x-c)\)と置くことができる．
\(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)と係数を比較すると，
\(-(a+b+c)a=b\cdots(1)\)
\((ab+bc+ca)a=c\cdots(2)\)
\(-a^2bc=d\cdots(3)\)
また，\(a\neq 0\cdots(4)\)
(A)
(3)において，\(a^2bc=0\)となるが，(4)より\(b=0\)もしくは\(c=0\)となる．
(i)\(b=0\)のとき，
(1)より，\(a(a+c)=0\)となるが，(4)より，\(a=-c\)となる．
(2)より，\(c(a^2-1)=0\)となるが，\(a=-c\)と(4)より，\(c\neq 0\)なので，
\(a=\pm 1\)，また\(a=-c\)より，\(c=\mp 1\)
(ii)\(c=0\)のとき
(2)より，\(a^2b=0\)となるが，(4)より\(b=0\)となる．
これと(1)より，\(a=0\)となるが，(4)の条件に反するため，この場合の解はない．
以上より，\((a,b,c)\)\(=(\pm 1,0,\mp 1)\)
(B)
\(a\)の実数の範囲を求める場合，\(b,c,d\)が実数である条件を考え，その条件内で\(a\)がどの実数範囲をとるかを考えればよい．
まず\(b,c\)については，\(b,c\)は対称性があることから，\(b\)のみを考えればよい．
よって，\(b\)が実数である条件を考え，\(b\)を\(a\)で置き換えた時の\(a\)の範囲を考えればよい．
(1)より，\(\displaystyle c=-\frac{a^2+ab+b}{a}\cdots(1)'\)
(2)より，\(\displaystyle c(a^2+ab-1)+a^2b=0\cdots(2)'\)
(1)',(2)'より\(c\)を消去して整理すると，
\(a(a+1)b^2+(a+1)^2(a-1)b+a^2(a+1)(a-1)=0\)
ここで，\(b\)が実数である条件は，\(b\)の二次方程式の判別式\(D\geqq 0\)である．
よって，\(D=(a+1)^4(a-1)^2-4a^4(a+1)^3(a-1)\)\(=(a+1)^2(a-1)(-3a^3+a^2-a-1)\)
ここで，\(a>0\)の時，\(-3a^3+a^2-a-1<0\)である(\(a=0\)で左辺=-1，\(a>0\)で左辺は単調減少)ため，\(D\geqq 0\)\(\Leftrightarrow\)\((a+1)^2(a-1)\leqq 0\)\(\Leftrightarrow\)\(a\leqq 1\)，\(a=-1\)
\(a>0\)より，\(0<a\leqq 1\)
次に(3)より，\(d\)が実数である条件は，\(a^2bc\)が実数であることが必要であるが，先に求めた\(a\)の範囲で，\(a^2bc\)が実数であることを満たしているため，特に検討する必要はない．
以上より，\(0<a\leqq 1\)が答えとなる．
※\(c\)の実数の範囲を考えても，\(b\)と全く同じ結果になる．
(1)より，\(\displaystyle b=-\frac{a(a+c)}{a+1}\cdots(1)''\)
(2)より，\(\displaystyle a(a+c)b=c(1+a)(1-a)\cdots(2)''\)
(1)'',(2)''より\(b\)を消去して整理すると，
\(a^2c^2+(a^3-a^2+a+1)c+a^4=0\)
ここで，\(c\)が実数である条件は，\(c\)の二次方程式の判別式\(D\geqq 0\)である．
よって，\(D=(a^3-a^2+a+1)^2-4a^6\)\(=(a+1)^2(a-1)(-3a^3+a^2-a-1)\)
ここで，\(a>0\)の時，\(-3a^3+a^2-a-1<0\)であるため，\(D\geqq 0\)\(\Leftrightarrow\)\((a+1)^2(a-1)\leqq 0\)\(\Leftrightarrow\)\(a\leqq 1\)，\(a=-1\)
※もし，\(a>0\)の条件がない場合，\(a\)の取りうる範囲は複雑となる．
\(-3a^3+a^2-a-1=0\)はただ1つの実数解を取るが，それを\(a=\alpha\)とすると，
\(a=-1\)，\(\alpha<a<0\)，\(0<a\leqq 1\)が答えとなる．