上級者
数学A：整数
問題
\(\displaystyle f(n)=\frac{1}{4}n^{4}+an^{3}+bn^{2}+cn+d\)とおく．定数\(a,b,c,d\)は\(\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle 0 \leqq b<\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle 0 \leqq c<\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle 0 \leqq d<\frac{1}{2}\)を満たし，すべての整数\(n\)に対して\(f(n)\)は整数である．この条件を満たす\((a,b,c,d)\)の組をすべて求めよ．（類 愛媛大）
参考入試問題
\(f(n)=\displaystyle \frac{1}{6}n^{3}+an^{2}+bn\)とおく．定数\(a,b\)は\(0≦a<1\)，\(0≦b<1\)を満たし，\(f(−1),f(1)\)はともに整数であるとする．
(1)上の条件を満たす\((a,b)\)の組をすべて求めよ．
(2)すべての整数\(n\)に対して\(f(n)\)は整数であることを示せ．(03愛媛大)
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