上級者
数学A：整数
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ヒント：今回は余りに関して整理しよう．また参考問題は因数に関して考えよう．
問題
\(a,b,c\)は，\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)をみたす自然数とする（ピタゴラス数）．
(1)\(a,b\)ののうち少なくとも片方は3の倍数となることを示せ．
(2)\(a,b\)のうち少なくとも片方は4の倍数となることを示せ．
(3)\(abc\)は60で割り切れることを示せ．
解答
背理法で示す．
(1)
\(a,b\)が3の倍数がないとすると，\((3k\pm 1)^{2}=3(3k^{2}\pm 2k)+1\)である．
すると，左辺を3で割ると余りは2となる．右辺は3で割ると余りは0，1となる．これは矛盾するので，\(a,b\)ののうち少なくとも片方は3の倍数となる．
(2)
\(a,b\)が4の倍数がないとすると，\((4k+1)^{2}\)\(=8(2k^{2}+k)+1\)，\((4k+2)^{2}\)\(=8(2k^{2}+2k)+4\)，\((4k+3)^{2}\)\(=8(2k^{2}+3k+1)+1\)
よって左辺を8で割ると余りは2，5となる．右辺は8で割ると余りは0，1，4である．これは矛盾するので，\(a,b\)のうち少なくとも片方は4の倍数となる．
(3)
(1)(2)で\(a,b\)のどちらかが3の倍数，4の倍数となるので，\(a,b,c\)のうち少なくとも1つが5の倍数となることを示せばよい．
ここで，\(a,b,c\)が5の倍数がないとすると，\((5k\pm 1)^{2}\)\(=5(5k^{2}\pm 2k)+1\)，\((5k\pm 2)^{2}\)\(=5(5k^{2}\pm 4k)+4\)である．
よって左辺を5で割ると余りは0，2，3となる．右辺は5で割ると余りは1，4である．これは矛盾するので，\(a,b,c\)のうち少なくとも1つの5の倍数となる．
また倍数について，3，4，5はいずれの2つも互いに素なので，\(abc\)は60で割り切れる．
参考入試問題
自然数\(a,b,c\)について等式\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)が成り立ち，かつ\(a,b\)は互いに素とする．このとき，次のことを証明せよ．
(1) \(a\)が奇数ならば，\(b\)は偶数であり，したがって，\(c\)は奇数とする．
(2) \(a\)が奇数のとき，\(a+c=2d^{2}\)となる自然数\(d\)が存在する．(1999京大）
解答
(1) \(a\)を奇数として\(a=2k+1\)とおく．\(b=2l+1\)の時，左辺\(=4(k^{2}+k+l^{2}+l)+2\)となる．ここで，\(c\)を偶数としても奇数としても4の倍数+2とならないので成り立たない．（具体的に文字でおいてみるとわかる．）よって\(b=2l\)とおくと，左辺\(=4(k^{2}+k+l^{2})+1\)となる．ここで，\(c\)が偶数のときは明らかに成り立たない．\(c\)が奇数のとき4の倍数+1となり成り立つ．
☆合同式について
合同式とは余りについて考えるときに使う式である．例えば，5を3で割ったとき2となりますが，これを合同式であらわすと\(5≡2~(\bmod 3)\)と書きます．これを使うと上の問題は簡単に解けます．
別解
\(a≡1~(\bmod4)\)で\(b\)が奇数の時，\(b≡1~(\bmod4)\)となる．ここで，\(c≡0~or~1~(\bmod4)\)となる．よって\(a+b≡c~(\bmod4)\)にはならない．次に\(b\)が偶数のとき，\(b≡0~(\bmod4)\)となる．ここで，\(a+b≡1~(\bmod4)\)となる．よって\(c≡1\)となるので，\(c\)は奇数となる．
(2)
\(b^{2}=c^{2}-a^{2}\)\(=(c+a)(c-a)\)
ここで，(1)の条件から\(b\)が偶数，\(a,c\)は奇数なので，\(c+a=2m\)，\(c-a=2n\)と置ける．
ここで，\(m,n\)が共通の因数\(p\)を持つとすると，\(c+a=2m'p\)，\(c-a=2n'p\) \(\Leftrightarrow\) \(a=p(m'-n')\)，\(c=p(m'+n')\)
ここで，\(a,c\)が互いに素であるため，共通因数を持つした仮定は矛盾する．よって，\(m,n\)は互いに素である．
\(b=2l=2a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\)と置くと，\(l^2=mn\)で，\(m,n\)は互いに素なので，共通因数である\(a_{k}\)は，\(m\)，\(n\)のどちらかに分配される．
よって，\(m=d^2\)(\(d\)は自然数)と置ける．
ゆえに，\(a+c=2d^2\)が成り立つ．
※これはピタゴラス数を作る公式を求める過程と同じです．
\(c-a=2e^2\)と置けるので，\(a=d^2-e^2\)，\(b=2de\)，\(c=d^2+e^2\)となる．