中級者
数学A：整数
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ヒント：今回の整数問題は因数分解で条件を絞っていこう．
問題
\(x^{3}-ax^{2}-bx+6=0\)は3つの整数解を持っていて，その中に素数を持つものがある．また\(a,b\)は自然数とする．このとき\(a,b\)と三つの整数解を求めよ．(オリジナル）
解答
素数を\(p\)とする．
\(p^{3}-ap^{2}-bp+6=0\) \(\Leftrightarrow\) \(p(p^{2}-ap-b)=-6\)
(1)\(p=2\)のとき
\(2^{3}-a\times 2^{2}-b\times 2+6=0\) ⇔ \(2a+b=7\)
\(a,b\)は自然数よりとりうる\(a,b\)の値は\((a,b)=(1,5)(2,3)(3,1)\)
・\((a,b)=(1,5)\)のとき
\(x^{3}-x^{2}-5x+6=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle(x-2)(x^{2}+x-3)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle x=2,\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}\)
・\((a,b)=(2,3)\)のとき
\(x^{3}-2x^{2}-3x+6=0\) \(\Leftrightarrow\) \((x^{2}-3)(x-2)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle x=\pm\sqrt{3},2\)
・\((a,b)=(3,1)\)のとき
\(x^{3}-3x^{2}-x+6=0\) \(\Leftrightarrow\) \((x-2)(x^{2}-x-3)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle x=2,\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\)
(2)\(p=3\)のとき
\(3^{3}-a\times 3^{2}-b\times 3+6=0\) \(\Leftrightarrow\) \(3a+b=11\)
\(a,b\)は自然数よりとりうる\(a,b\)の値は\((a,b)=(1,8)(2,5)(3,2)\)
・\((a,b)=(1,8)\)のとき
\(x^{3}-x^{2}-8x+6=0\) \(\Leftrightarrow\) \((x-3)(x^{2}+2x-2)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle x=3,-1\pm\sqrt{3}\)
・\((a,b)=(2,5)\)のとき
\(x^{3}-2x^{2}-5x+6=0\) \(\Leftrightarrow\) \((x-3)(x-1)(x+2)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=3,1,-2\)
・\((a,b)=(3,2)\)のとき
\(x^{3}-3x-2x+6=0\) \(\Leftrightarrow\) \((x-3)(x^{2}-2)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=3,\pm\sqrt{2}\)
以上より，求める答えは\((a,b)=(2,5)\)，\(x=3,1,−2\)
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