MATH

問題

(オリジナル)

Bessel関数(\(n\)は0以上の整数)\(J_{n}(x)=x^{n}\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+n}m!\Gamma(n+m+1)}x^{2m}\)について次の問題を考えろ．

(1)ガンマ関数は\(\displaystyle \Gamma(n)=\lim_{\alpha\rightarrow\infty}\int_{0}^{\alpha}t^{n-1}e^{-t}dt\)という式で表せる．次の式が成り立つことを証明せよ．

\(\Gamma(n)=(n-1)!\)

(2)Bessel関数は次の等式を満たすことを示せ．

\(\displaystyle \frac{2n}{x}J_{n}(x)=J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)\)

参考入試問題

（1999 東工大）

2以上の自然数\(n\)に対して，

\(\displaystyle \int_{0}^{1}t^{2n-1}e^{t}dt+\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{{}_{2n-1}P_{2n-2k}}{2k+1}\right)e=(2n-1)!\)

を示せ．ここで，\(e\)は自然数の底である．

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