上級者
数学Ⅲ：積分法
問題
\(m,n\)を自然数とする．\(x \geqq 0\),\(y \geqq 0\)の場合で，曲線\(x^\frac{1}{m}+y^\frac{1}{n}=1\)と\(x\)軸，\(y\)軸とで囲まれる領域の面積を\(S(m,n)\)とする．
(1)\(\displaystyle S(m,n+1)=\frac{n+1}{m+1}S(m+1,n)\)となることを示せ．
(2)\(S(m,n)\)を\(m,n\)を用いて表せ．
(3)\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(S(n,n))^\frac{1}{n}\)の値を求めよ．
参考入試問題
\(m,n\)を自然数とする．第1象限内の曲線\(x^\frac{1}{m}+y^\frac{1}{n}=1\)と\(x\)軸，\(y\)軸とで囲まれる部分の面積を\(A(m,n)\)とする．
(1)\(A(m,1)\)を求めよ．
(2)\(\displaystyle A(m,n+1)=\frac{n+1}{m+1}A(m+1,n)\)であることを示せ．
(3)\(A(m,n)\)を求めよ．（1986東京工業大学）
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