上級者
数学Ⅲ：積分法
問題
定積分\(I=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{x\sin^{2}x}{\sin^{6}x+\cos^{6}x}dx\)の値を求めよ．なお，\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin^{6}x+\cos^{6}x}dx\)\(=\pi\)であることを使ってもよい．（オリジナル）
(1) \(f(x)\)を連続関数とするとき，\(\displaystyle \int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx\)\(=\displaystyle \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx\)が成り立つことを示せ．
(2) 定積分\(\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{x\sin^{3}x}{\sin^{2}x +8}dx\)の値を求めよ．（2010 横浜国立大）