中級者
数学A：論理
問題
(A) 次の命題の真偽を判定し，偽の場合は判例を挙げよ．
(1) \(ab>0\)ならば\(a>0\)かつ\(b>0\)である．
(2) \(a\geqq b\)かつ\(b\geqq a\)ならば\(a=b\)である．
(B) 次は必要条件，十分条件，必要十分条件のいずれであるか．
\(x,y,z\)を実数とする．
(1) \(x>1,y>2\)は，\(x+y>3,xy>2\)であるための□
(2) \(xz=yz\)は，\(x=y\)であるための□
(3) \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)は，\(x=y=z\)であるための□．
(4) \(x^2+y^2+z^2=0\)は，\(x+y+z=0\)かつ\(xy+yz+zx=0\)であるための□．
参考入試問題
実数\(c\)に関する次の条件\((A)\)を考える．
\((A)\) \(|c|\leqq 2\)
以下の(1)から(6)の\(c\)に関する条件は，それぞれ上の条件\((A)\)が成り立つための
(a)必要条件であるが，十分条件ではない
(b)十分条件であるが，必要条件ではない
(c)必要十分条件である
(d)必要条件でも十分条件でもない
のいずれであるか．
(1)\(c\leqq 2\)
(2)\(c^2-2\leqq 0\)
(3)すべての実数\(x\)に対して\(x^4-c\geqq 0\)
(4)ある実数\(x\)があり，\((x-1)^2+c^2\leqq 4\)となる
(5)\(x<1\)ならば，\(cx<2\)
(6)\(x\)の2次方程式\(x^2+cx+1=0\)は実数解を持たない（02お茶の水大）
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