中級者
数学C(旧課程)：行列
問題
今座標変換行列\(A=\displaystyle \frac{1}{1+a^{2}} \left(\begin{array}{cc} 1-a^2 & -2a \\ 2a & 1-a^2 \\ \end{array}\right)\)がある．これを使い，点\(P\)を座標変換する．点\(P\)の初期位置を\(P_{0}(1,0)\)とすると，点\(P\)は，\(P_{k}(x_{k},y_{k})\) \((k=1,2,\cdots)\)として，\(\displaystyle \left(\begin{array}{r} x_{n+1} \\ y_{n+1} \\ \end{array}\right)=A\left(\begin{array}{r} x_{n} \\ y_{n} \\ \end{array}\right)\)となるように変換される．このとき，行\(A\)によって点\(P\)は順番に第一象限，第二象限，第三象限，第四象限と変換されていき，\(n\)回目で初めて\((1,0)\)となるようにする．(つまり，\((1,0)\)→第一象限→第二象限→第三象限→第四象限→\((1,0)\))
\(L=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(P_{1}P_{0}+P_{2}P_{0}+\cdots+P_{n}P_{0})\)を求めよ．（オリジナル）
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