上級者
三角関数・整題
問題(オリジナル)
直角三角形の三辺は三平方の定理より，\(a^2+b^2=c^2\)が成立するが，三辺が整数かつ互いに素である場合，ある正の整数\(m,n\)\((m>n)\)を用いて，\((m^{2}-n^{2})^{2}\)\(+(2mn)^{2}\)=\((m^{2}+n^{2})^{2}\)が成立する．この性質を使い，次の問題を解け．
(1)\(m=3\),\(n=2\)の時，三角形の最小となる角度\(\theta^{\circ}\)とする．
この時，図の三角形ABDと扇形ABDと三角形AEFの面積の大きさを比較することで，\(\theta^{\circ}\)の大きさを整数部分まで求めよ．
(2)三辺が整数かつ互いに素である場合，直角三角形の斜辺ともう一つの辺の差が1の時，残りの一辺は1以外の奇数になることを示せ．
(3)三辺が整数かつ互いに素である場合，辺の最小の長さを100以下とした時，最小となる角度\(\theta^{\circ}\)について，小数点第三位まで求めよ．
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