上級者
数学B：ベクトル
問題（オリジナル）
三角形\(ABC\)において，\(BC=a\)，\(CA=b\)，\(AB=c\)，\(\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=p\)，\(\displaystyle \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=q\)，\(\displaystyle \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=r\)とした時に次の問いに答えよ．
(i)三角形\(ABC\)の各辺の長さは整数，\(p\)は素数，\(r=k^2\)，\(k\)は正の整数の時，\(p\)が最小となる時の\(p,q,r\)を求めよ．
(ii)\(4(p^2+q^2+r^2)\)\(\geqq a^4+b^4+c^4\)が成立することを示せ．また，等号成立する場合の\(a,b,c\)の条件を求めよ．
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