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ジャンル：オリジナル問題
〇この問題は解けるのか？
※遂に解くことができました．結局高校レベルで解くことができませんでしたが，こちらに記載させていただきます．
ある日ふと整数問題を作ってみたくなって問題を考えた。そういえば昔代ゼミでの東大模試でこのような問題が出た。(文章があいまい)
問題
\(m!=n^{2}+2n-2\)を満たす正の整数\(m,n\)を求めよ。
解答
\(m=1\)のとき，\(m!=1\)である。これを満たす\(n\)は\(n=1\)である。
\(m=2\)のとき，\(m!=2\)である。これを満たす\(n\)は存在しない。
\(m=3\)のとき，\(m!=6\)である。これを満たす\(n\)は\(n=2\)である。
\(m≧4\)のとき，\(m!=8a\)とおける。(素因数2を3つ以上持つ)
よって\(n=2k\)であることが必要である。代入すると，\(8a=4k^{2}+4k-2\) \(\Leftrightarrow\) \(2(k^{2}+k-2a)=1\)
左辺=偶数，右辺=奇数となるので，\(m≧4\)では解は存在しない。
よって求める答えは\((m,n)\)\(=(1,1)\),\((3,2)\)
これにならって次のような問題が作られた。
問題
\(n!+n=n^{m}\)を満たす自然数\(m,n\)をすべて求めよ。(オリジナル)
（※この形式を変えた問題をこちらに載せてます．）
内容は代ゼミの問題に非常に似ている。数が小さいところを調べると，\((m,n)\)\(=(2,2)\),\((2,3)\),\((3,5)\)が存在する。
一般的解法を考えるがまったく解けない。いつもだったら問題としてボツとなるのだが，解が3つも出てきてしまい，しかもすべて素数という摩訶不思議さにビックリしてしまったので，載せることにしました。
どうか解ける人がいたら教えてください。匿名かハンドルネームで解答を載せるのを許可してもらえるとうれしいです。
高校内で解けない問題の場合はボツになるかと思いますが…
ちなみに以下に載せる問題は未解決らしいです。
見た目すべて解けそうですが・・・
\((a+b+c)^{3}=abc\neq \)0の整数解は存在しない
\(x^{3}+y^{3}+z^{3}=3\)の解は\((1,1,1),(4,4,−5)\)のみ
\(n^{n}+1\)が素数になる自然数\(n\)は\(n=1,2,4\)のみ
\(p=n^{2}+1\)となる素数\(p\)は無数に存在する
\(p=2^{n}+1\)となる素数\(p\)は無数に存在する
\(n\)が2以上の整数なら\(\displaystyle \frac{4}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)の自然数解\(a,b,c\)が存在する
\(a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}\)の自然数解は存在する?
\(n!+1\)が平方数となるのは\(n=4,5,7\)のみ (ブ ロカールの問題，ブラウン数，ポール・エルデシュ予想)
もしかしたらこのオリジナル問題も未解決問題になるかも…?