小休止
ジャンル：オリジナル問題
以前，小休止で載せた未解決問題を遂に解くことができました．
結局高校レベルで解くことができず，論文を引用することになりますが，記載させていただきます．
ちなみに整数問題は少々問題が変わるだけで簡単に解けたり，未解決問題になったりすることがあります．このページの最後に例を載せておきます．
〇問題
\(n!+n=n^m\)を満たす自然数解\(m,n\)をすべて求めよ．(オリジナル)
〇背景・解説
この問題はブロカールの問題に関連した内容になります．
ブロカールの問題とは，\(n!+1=m^2\)を満たす整数の組\((n,m)\)がいくつ存在するかという問題になり，全ての解が出ていない未解決問題です(参考[1])．このブロカールの問題に対して，より一般化したディオファントス方程式\(x^k-y^k=n!\)において，\(x=n\)，\(y=1\)，\(n=n-1\)，\(k=m-1\)としたものが小休止で取り上げた問題となる．よって，\(x^k-y^k=n!\)における整数解\(x,y,k,n\)が存在しうる範囲を求めて，解を導けばよい．
〇解答
\(x,y,k,n\)を整数とする．ディオファントス方程式\(x^k-y^k=n!\)において，P. ErdősとR.Obláthが，\(x,y\)が互いに素，\(k>1\)の場合において，\(k=2,4\)を除いて，解を持たないことを示した[2]．
さらに，PollackとShapiroが\(x^4-1=n!\)は解を持たないことを示した[3]．
これより\(y=1\)の場合，つまり\(x^k-1=n!\)において，\(k=1,2\)のみ解を持つ．
ここで，\(n\neq0\)の場合，\(x=n\)，\(n=n-1\)，\(k=m-1\)とすると，\(n^k-1=(n-1)!\)\(\Leftrightarrow\)\(n!+n=n^m\)となるため，元の問題は\(m=2,3\)(\(k=1,2\))のみ自然数解を持つことになる．
(1)\(k=1\)，つまり\(m=2\)の場合の\(n-1=(n-1)!\)の成立解を確認する．
\(n=1\)の場合，左辺=0，右辺=1で成立解なし．
\(n=2\)の場合，左辺=1，右辺=1で\((m,n)=(2,2)\)が成立する．
\(n=3\)の場合，左辺=2，右辺=2で\((m,n)=(2,3)\)が成立する．
\(n\geqq 4\)の場合，左辺<右辺なので成立解なし．
(2)\(k=2\)，つまり\(m=3\)の場合の\(n^2-1=(n-1)!\)の成立解を確認する．
\(n=1\)の場合，左辺=0，右辺=1で成立解なし．
よって，\(n\geqq2\)において，
\(n^2-1=(n-1)!\)\(\Leftrightarrow\)\(n+1=(n-2)!\)
\(n=2\)の場合，左辺=3，右辺=1で成立解なし．
\(n=3\)の場合，左辺=4，右辺=1で成立解なし．
\(n=4\)の場合，左辺=5，右辺=2で成立解なし．
\(n=5\)の場合，左辺=6，右辺=6で\((m,n)=(3,5)\)が成立する．
\(n\geqq 6\)の場合，左辺<右辺なので成立解なし．
以上(1)(2)より，求める答えは\((m,n)=(2,2),(2,3),(3,5)\)
〇文献
[1]ブロカールの問題，https://ja.wikipedia.org/wiki/ブロカールの問題，20201107
[2]Erdős Paul; Obláth Richard (1937), “Über diophantische Gleichungen der Form \(\displaystyle n!=x^{p}\pm y^{p}\)\(\displaystyle n!=x^{p}\pm y^{p}\) und \(\displaystyle n!\pm m!=x^{p}\)\(\displaystyle n!\pm m!=x^{p}\)”, Acta Litt. Sci. Szeged 8: 241-255.
[3]Pollack, Richard M.; Shapiro, Harold N. (1973), “The next to last case of a factorial diophantine equation”, Comm. Pure Appl. Math. 26: 313-325.
〇参考内容
[2]は英語でないのと数学専門家ではないので，解答の初めで述べている内容が正しいのか分かりませんが，以下の論文のP.2の5行目"Considering"から10行目"no solutions."まで読めば，正しいことが分かります．
Some results of Brocard-Ramanujan problem on diophantine equation \(n!+1=m^2\)，S. Maiti，arXiv:2004.09256 [math.NT]，2020,
〇終わりに…
整数問題は少々問題が変わるだけで簡単に解けたり，未解決問題になったりすることがあります．
例えば，以下の整数問題は高校レベルの知識で解くことができます．
(1)\(p,q\)を素数，\(n\)を整数とする．\(p^2-7^n=9q^3\)を満たす\(p,q,n\)を求めよ．
解答はこちら
(2)\(p,q\)を素数，\(m,n\)を整数とする．\(n\)が3の倍数でない場合，\(p^2-7^m=4q^n\)を満たす\(p,q,m,n\)を全て求めよ．
解答はこちら
一方で，以下の整数問題は高校レベルの知識で解くことができません．
(3)\(n,x\)を自然数解とすると，\(2^n-7=x^2\)を満たす解を求めよ．
これは，ラマヌジャン・スコーレムの定理（もしくはラマヌジャン・ナーゲルの定理）と呼ばれるもので，この問題は大学入試で解けるレベルの問題ではないです．ちなみに解くと，\((n,x)\)\(=(3,1)\),\((4,3)\),\((5,5)\),\((7,11)\),\((15,181)\)となるそうです．
参考：ラマヌジャン・スコーレムの定理，https://ja.wikipedia.org/wiki/ラマヌジャン・スコーレムの定理，20201107