中級者
数学Ⅲ：積分法
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ヒント：単なる計算問題です．この手の問題は確実に解けるようにしましょう．参考入試問題で絶対値のある積分の極限は難関大学でよく出ます．区間で分けたり，置換する方法を学んでみましょう．
問題（オリジナル）
\(n\)を正の整数とするとき，
(i)\(a_{n}\)\(=\displaystyle \int_{0}^{n\pi}e^{-x}\sin x dx\)を求めよ．
(ii)\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\)を求めよ．
以前，似た問題を載せてます．
参考入試問題
①（1994 東工大）
(1)定積分\(\displaystyle \int_{0}^{\pi}e^{-x}\sin x dx\)を求めよ．
(2)極限値\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{n\pi}e^{-x}|\sin x|dx\)を求めよ．
②(2007 早稲田理工)
曲線\(y=e^{-x}\)と\(y=e^{-x}|\cos x|\)で囲まれた図形のうち\((n-1)\pi \leqq x \leqq n\pi\)を満たす部分の面積を\(a_{n}\)とする \((n=1,2,3,\cdots)\)．以下の問に答えよ．
(1)\(\displaystyle \int e^{-x}\cos x dx\)\(=e^{-x}(p\sin x+q\cos x)+C\)をみたす定数\(p,q\)を求めよ．ただし，\(C\)は積分定数である。
(2)\(a_{1}\)の値を求めよ。
(3)\(a_{n}\)の値を求めよ。
(4)\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})\)を求めよ．
解答はこちら